f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n<e/(e-1)

令ak=[(n-k)/n]^n .........k=n-1,...,3,2,1,0
--->ak = [1-k/n]^n = {(1+(-k)/n]^(n/-k)}^(-k)
--->n→∞时, lim(ak) = 1/e^k

--->n→∞时
lim[(1/n)^n+(2/n)^n+...+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n]
=1+1/e+1/e²+...+1/e^k+...
=1/(1-1/e) = e/(e-1)

--->(1/n)^n+(2/n)^n+...+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n＜e/(e-1)

广一模的题啦 为啥不看看答案呢？...

证明 引理（也就是原题第一问） 对于任意 x不为0 有1+x<e^x

显然 f'(x)=e^x-1 令f'(x)=0 得x=0 显然 x<0时 递减 >0递增 故f(x)>f(0)=1 (x不为0)

而1/n=1-(n-1)/n 2/n=1-(n-2)/n ... (n-1)/n=1-1/n

故1/n<e^(-(n-1)/n) (1/n)^n<e^(-(n-1))=(1/e)^(n-1)

当n=1时上式显然成立 当n>1时

上式<1+(1/e)^(n-1)+(1/e)^(n-2)+....+(1/e)
=(1/e)^0+(1/e)^1+...+(1/e)^(n-1)
=[1-(1/e)^n]/(1-(1/e))
<1/(1-1/e)
=e/(e-1)

不等式得证